Matemática discreta Ejemplos

$2 x - 9 y + 6 z = - 3$ , $9 x - 2 y + 5 z = 4$ , $3 y - 3 z = - 8$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & - 9 & 6 & - 3 \\ 9 & - 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 9}{2} & \frac{6}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 9 & - 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 9 & - 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 9 - 9 \cdot 1 & - 2 - 9 (- \frac{9}{2}) & 5 - 9 \cdot 3 & 4 - 9 (- \frac{3}{2}) \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{77}{2} & - 22 & \frac{35}{2} \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{2}{77}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{2}{77}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ \frac{2}{77} \cdot 0 & \frac{2}{77} \cdot \frac{77}{2} & \frac{2}{77} \cdot - 22 & \frac{2}{77} \cdot \frac{35}{2} \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{7} & \frac{5}{11} \\ 0 & 3 & - 3 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.4

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.4.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{7} & \frac{5}{11} \\ 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 (- \frac{4}{7}) & - 8 - 3 (\frac{5}{11}) \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{7} & \frac{5}{11} \\ 0 & 0 & - \frac{9}{7} & - \frac{103}{11} \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{7}{9}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 2.5.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{7}{9}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{7} & \frac{5}{11} \\ - \frac{7}{9} \cdot 0 & - \frac{7}{9} \cdot 0 & - \frac{7}{9} (- \frac{9}{7}) & - \frac{7}{9} (- \frac{103}{11}) \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{7} & \frac{5}{11} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 2.6

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{4}{7} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.6.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{4}{7} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 + \frac{4}{7} \cdot 0 & 1 + \frac{4}{7} \cdot 0 & - \frac{4}{7} + \frac{4}{7} \cdot 1 & \frac{5}{11} + \frac{4}{7} \cdot \frac{721}{99} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 3 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{457}{99} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 2.7

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.7.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - \frac{9}{2} - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3}{2} - 3 (\frac{721}{99}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{457}{99} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{9}{2} & 0 & - \frac{1541}{66} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{457}{99} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{9}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{9}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{9}{2} \cdot 0 & - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{2} \cdot 0 & - \frac{1541}{66} + \frac{9}{2} \cdot \frac{457}{99} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{457}{99} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{85}{33} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{457}{99} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{721}{99} \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x = - \frac{85}{33}$

$y = \frac{457}{99}$

$z = \frac{721}{99}$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- \frac{85}{33}, \frac{457}{99}, \frac{721}{99})$